Итерации

Във всеки фрактал има безкрайно повторяща се форма. При създаване такъв фрактал, естествено е, че най-простия начин се състои в това, да се повторят няколкото действия, които създават тази форма. Вместо думата "повторение" използваме математическия синоним "итерация".

Фактически всеки фрактал може да бъде създаден с итерации на някакво правило. Например, правилото за създаване на Снежинката на Кох е:

1. Заместваща итерация — Създава фрактали, заменяйки едни геометрични фигури с други.
2. Итерация ИФС — Създава фрактали, прилагайки геометрични преобразования (тип завъртане и отражение).
3. Итерация с формули — включва няколко начина за създаване на фрактали, повторяйки някаква математическа формула или няколко формули.

Съществуват също няколко не основни видове итерации. Например, фрактали може да се създават, повтаряйки процес на сгъване на хартия. Обаче същите тези фрактали могат да се образуват и с някои от изброените стандартни методи

Заместваща итерация

Например, да опитаме да направим фрактал с тази основа и мотив:

L-системи

Заместващата итерация е много проста. Но за компютър, не е достатъчно да имаш изображението на основата и мотива. Необходим е начин за съхранение на данните за фракталите, който да не се изразходва много памет и позволява да създават прости алгоритми за изчертаване на фрактали. Най-добрия подобен начин са L-системите. Разработени са от А. Линденмайер ("L" в думата "L-система" ). Те са съставени от определяне на ъгъла, аксиома и поне едно правило. Аксиома наричаме началната форма (основа), която ще се използва в процеса на създаване на фрактала. Правилата указват, какви символи в аксиомата трябва да бъдат заменени с други символи.

Например, Снежинката на Кох използва следната основа и мотив:

Koch {
Angle 60

Axiom F - - F - - F

F = F + F - - F + F
}

Системи Итерируеми Функции (Iterated Functions System - IFS)

IFS (итеративни функционални системи) представят още един начин за създаване на фрактали. Този метод е основан на точка или фигура, която се заменя с няколко по-малки фигури.

Замяната на една форма с друга форма се нарича геометрично преобразование. В горния пример има два вида преобразования: транслация (движение на триъгълниците) и изменение на размера на триъгълниците. Третият вид преобразование е въртенето. То може да се използва за създаване на фрактали, в които самоподобните части са разместени под различни ъгли. Например, за да се създаде реалистичен модел на дърво, има нужда от въртенето за клоните. Другите видове преобразования, тип огледално отражение и инверсия могат да се използват за създаване на огромно разнообразие от фрактали.

IFS значително облегчават алгоритмите за изчертаване на фракталите. За двумерни фрактали всичко, което трябва да сложите в паметта на компютъра, е списък с всички преобразования с 6 параметри за всяко:

X' = A*X + B*Y + C
Y' = D*X + E*Y + F

1. Хоризонтално движение
2. Вертикално движение
3. Въртене около вертикалната ос на изображението
4. Въртене около хоризонталната ос на изображението
5. Растеляне на вертикалната ос на изображението
6. Растеляне на хоризонталната ос на изображението

За 3-мерните фрактали са необходими допълнително още 3 параметра за третата ос. IFS могат да се използват за създаване на повечето фрактали, освен формулните фрактали. Ако желаете, тук може да научите как с помощта на IFS може да се построят някои фрактални структури.

Формулна итерация

Формулната итерация е най-простия вид итерация, но е най-важния и дава най-сложни резултати. Той е основан на използването на математически формули за постоянно изменение на числата.

Три вида фрактали могат да бъдат създадени, използвайки различни видове итерации на формулите:

• Атрактори - започвайки с координатите на някаква точка, се определят координатите на всяка следваща точка като се изполва формула.
• Фрактали Джулия - започнете с координатите на някаква точка. Оцветете я в зависимост от това, което се случва с нея след итерацията. Направете същото за всяка точка.
• Фрактали Менделброт - започнете от точка (0, 0). Изполвайте формула, която изполва координатите на някаква друга точка като константа във формулата. Оцветете последната точка в зависимост от това, какво се случва с (0, 0) след итерацията. Направете същото за всяка точка.